Seite 1 von 1

Rechnen mit Matrizen in Calc

Verfasst: Mo, 24.09.2012 21:24
von lorbass
Operationen mit Matrizen erfolgen in Calc nach anderen Regeln, als in der Linearen Algebra.

Vorab ein paar Vereinbarungen:
  • Als m⁠⨯⁠n-Matrix wird hier ein rechteckiger, mit reellen Zahlen gefüllter Zellbereich eines Calc-Arbeitsblattes mit m Zeilen und n Spalten verstanden. Die Platzhalter k, l, m, n, … stehen wie üblich für positive ganze Zahlen 1, 2, 3, …
    Matrizen werden mit Großbuchstaben bezeichnet. A und B bezeichnen hier die durch einen Operator zu verknüpfenden Matrizen, M die Ergebnismatrix der Operation.
    Matrix-Elemente (a_ij, b_kl, m_pq) werden mit ihren Indizes hier wie in Math geschrieben, der Unterstrich symbolisiert die Tiefstellung der nachfolgenden Indizes.
    Operation und Operator sind hier die Addition, »+«, die Subtraktion, »-«, die Multiplikation, »·«, die Division, »/« und das Potenzieren, »^«.
Zwei Matrizen A und B werden in Calc durch einen Operator verknüpft, indem jedes Element »a_ij« der Matrix A durch denselben Operator mit dem Element »b_ij« der Matrix B verknüpft wird, das dieselbe Position in der Matrix einnimmt, also dieselben Indizes hat. Das Ergebnis der Operation wird dem Element »m_ij« der Ergebnismatrix M mit wiederum derselben Position zugeordnet. In Formeln für die Multiplikation:
Calc-Matrizenmultiplikation.png
Calc-Matrizenmultiplikation.png (24.11 KiB) 17016 mal betrachtet
Die Erläuterungen zum Verhalten von Calc beim Rechnen mit Matrizen werden durch die Beispiele in der Calc-Datei nachvollziehbar. Als Operation wird dabei die Multiplikation verwendet.
Calc-Matrizenmultiplikation.ods
(15.46 KiB) 985-mal heruntergeladen
Bei den Operationen werden nur die Zeilen und Spalten berücksichtigt, die in beiden Matrizen A und B enthalten sind. Zeilen und Spalten, die unten bzw. rechts „überhängen“, werden unterdrückt. Die Ergebnismatrix M ist daher nur so breit, wie die schmalere der beiden Matrizen A und B, und nur so hoch wie die flachere von beiden. (→ Beispieldatei, Fall ①, ② und ③)

Sonderfall: Wenn eine Matrix A (B) aus nur einer Zeile oder einer Spalte besteht, wird diese Zeile bzw. Spalte so oft durch Duplikate ihrer selbst ergänzt, bis A (B) so hoch bzw. so breit ist, wie die B (A). (→ Beispieldatei, Fall ④ und ⑤)

Formell: Einer m⁠⨯⁠n-Matrix A und eine p⁠⨯⁠q-Matrix B werden zu eine r⁠⨯⁠s-Ergebnismatrix M verknüpft, wobei r=MIN(m;p) und s=MIN(n;q).
In den Fällen der → Beispieldatei:

① 5⨯3-Matrix A · 5⨯4-Matrix B → 5⨯3-Ergebnismatrix M
② 5⨯3-Matrix A · 4⨯3-Matrix B → 4⨯3-Ergebnismatrix M
③ 5⨯3-Matrix A · 6⨯2-Matrix B → 5⨯2-Ergebnismatrix M
④ 5⨯3-Matrix A · 4⨯1-Matrix B → 4⨯3-Ergebnismatrix M
⑤ 1⨯3-Matrix A · 3⨯1-Matrix B → 3⨯3-Ergebnismatrix M
⑥ 3⨯3-Matrix A · 3⨯3-Matrix B → 3⨯3-Ergebnismatrix M

In der → Beispieldatei habe ich das Verhalten durch graue Zellhinterlegung und farbige Zellwerte verdeutlicht: Grüne Werte werden mit Duplikaten der nicht markierten Zeilen bzw. Spalten zeilen- bzw. spaltenweise ergänzt, die roten Werte werden unterdrückt, also nicht verarbeitet.